Integrationsregeln • Übersicht mit Beispielen (2024)

Du möchtest alle Integrationsregeln auf einen Blick sehen und verstehen, wie du sie anwendest? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch unser Video dazu an!

Integrationsregeln Übersicht

Die wichtigsten Integrationsregeln findest du hier zusammengefasst. Diese Regeln musst du beim Integrieren beachten, genau wie beim Ableiten von Funktionen:

Name	Regel	Beispiel
Potenzregel
Faktorregel
Summenregel
Differenzregel
Partielle Integration		Ein ausführliches Beispiel dazu siehst du weiter unten.
Integration durch Substitution		Ein ausführliches Beispiel dazu siehst du weiter unten.

Du interessierst dich für eine Regel im Detail? Eine ausführlichere Erklärung und mehrere Beispiele zu jeder Integralregel siehst du hier.

Potenzregel

Die Potenzregel ist die wichtigste der Integrationsregeln. Du wendest sie immer dann an, wenn das zu berechnende Integral eine Potenzfunktion enthält, also ein x mit einer Hochzahl.

c ist hier eine Konstante. Du siehst sofort, dass du wieder erhältst, wenn du die rechte Seite der obigen Formel ableitest.

Beispiele:

Faktorregel

Die Faktorregel ist eine der einfachsten Integrationsregeln. Du benutzt sie immer, wenn deine Funktion einen Faktor c enthält, also wenn du mit einer konstanten Zahl multiplizierst.

Beispiele:

Summenregel

Die dritte der Integralregeln ist die Summenregel. Du verwendest sie immer, wenn dein Integral eine Summe enthält.

Beispiel:

Differenzregel

Wenn dein Integral stattdessen eine Differenz enthält, gehst du analog vor.

Beispiel:

Partielle Integration

Die Integrationsregeln zur partiellen Integration findest du ausführlich in einem eigenen Video erklärt.

Beispiel:

Du sollst folgende Funktion integrieren:

Zuerst entscheidest du, welche Funktion dein f'(x) und welche dein g(x) sein soll. Die Funktion, die sich durch das Ableiten vereinfacht, wird dein g(x). Da abgeleitet ergibt und abgeleitet 1, ist g(x) = x und f'(x) = e^x.

Jetzt stellst du f(x) und g'(x) auf, da du sie für die Formel benötigst.

Dann musst du deine Ergebnisse nur noch in die Formel einsetzen.

Integrationsregeln zur Substitution

Für die Integrationsregeln zur Substitution haben wir ebenfalls ein eigenes, ausführliches Video für dich vorbereitet. Hier stellen wir dir nur kurz die Formel und ein typisches Beispiel vor.

Beispiel:

Als Beispiel für die Integralrechnung durch Substitution wollen wir uns genauer anschauen. Wir substituieren und erhalten durch Ableiten und Umstellen . Einsetzen in das Integral ergibt nach Anpassung der Integrationsgrenzen

Integrationsregeln für Sinus und Cosinus

Im vorherigen Beispiel haben wir die Integrationsregeln für Sinus und Cosinus schon gesehen. Allgemein brauchst du dazu – ähnlich wie beim Ableiten – spezielle Regeln. Du weißt, dass die Ableitung von gerade ist. Für gilt . Interpretierst du Integrieren als Umkehrung des Differenzierens, siehst du direkt, dass:

Am leichtesten kannst du es dir mit dem folgenden Bild merken.

Gehst du in der Zeile von links nach rechts, erfährst du, was die Ableitung ist, gehst du von oben nach unten, erhältst du die Stammfunktion.

Integrationsregeln für e^x und ln(x)

Da die Ableitung von gerade wieder ist, ist auch die zugehörige Integrationsregel nicht schwer. Es gilt

Steht in der Potenz noch ein Faktor, kannst du diese Regel anwenden:

Wenn du es mit noch komplizierteren Funktionen zu tun hast, dann schau doch unser Video speziell zum Integrieren von e-Funktionen an.

Das Integral von kannst du mithilfe der Integrationsregel zur partiellen Integration bestimmen und erhältst:

Vielleicht erinnerst du dich auch, dass von die Ableitung war. Damit ist natürlich die Stammfunktion von . Dies ist ein Spezialfall der logarithmischen Integrationsregeln.

Beispiele:

Stammfunktion und Ableitung der wichtigsten Funktionen

In der folgenden Tabelle findest du für die wichtigsten Funktionen ihre Ableitungen und ihre Stammfunktionen:

Ableitung	Funktion	Stammfunktion

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